Какво е съзвучие?

В предишната бележка разбрахме как работи звукът. Нека повторим тази формула:

ЗВУК = ОСНОВЕН ТОН + ВСИЧКИ МНОЖЕСТВО ОВЕРТОНИ

Освен това, както японците се възхищават на черешовите цветове, ние също ще се възхищаваме на графиката на честотната характеристика – амплитудно-честотната характеристика на звука (фиг. 1):

Спомнете си, че хоризонталната ос представлява височината на звука (честотата на трептене), а вертикалната ос представлява силата на звука (амплитудата).

Всяка вертикална линия е хармоник, първият хармоник обикновено се нарича основен. Хармониците са подредени по следния начин: вторият хармоник е 2 пъти по-висок от основния тон, третият е три, четвъртият е четири и т.н.

За краткост, вместо „честота nта хармонична” ще кажем просто “nта хармонична”, а вместо “основна честота” – “звукова честота”.

Така че, гледайки честотната характеристика, няма да ни е трудно да отговорим на въпроса какво е съзвучие.

Как да броим до безкрайност?

Консонанс буквално означава „съзвучие“, съвместно звучене. Как могат да звучат два различни звука заедно?

Нека ги начертаем на една и съща диаграма един под друг (фиг. 2):

Ето отговора: някои от хармониците могат да съвпадат по честота. Логично е да се предположи, че колкото повече съвпадащи честоти имат, толкова по-„общи“ звуци имат и, следователно, толкова повече съзвучие в звука на такъв интервал. За да бъдем напълно точни, важно е не само броят на съвпадащите хармоници, но и каква част от всички звучащи хармоници съвпада, тоест съотношението на броя на съвпадащите към общия брой на звучащите хармоници.

Получаваме най-простата формула за изчисляване на съзвучието:

където N_совп е броят на съответстващите хармоници,  N_общ е общият брой на звучащите хармоници (броят на различните честоти на звучене) и Против и е нашето желано съзвучие. За да бъдем математически коректни, по-добре е да наречем количеството мярка за честотен консонанс.

Е, въпросът е малък: трябва да изчислите N_совп и N_общ, разделете един на друг и получете желания резултат.

Единственият проблем е, че и общият брой на хармониците, и дори броят на съответстващите хармоници е безкраен.

Какво се случва, ако разделим безкрайност на безкрайност?

Нека променим мащаба на предишната диаграма, „да се отдалечим“ от нея (фиг. 3)

Виждаме, че съответстващите хармоници се появяват отново и отново. Картината се повтаря (фиг. 4).

Това повторение ще ни помогне.

Достатъчно е да изчислим съотношението (1) в един от пунктираните правоъгълници (например в първия), след което поради повторения и на цялата линия това съотношение ще остане същото.

За простота честотата на основния тон на първия (долния) звук ще се счита за равна на единица, а честотата на основния тон на втория звук ще бъде записана като несъкратима дроб  .

Нека отбележим в скоби, че в музикалните системи, като правило, се използват точно звуци, чието съотношение на честотите се изразява с някаква дроб  . Например интервалът от една пета е отношението  , кварти –  , тритон —   и т.н.

Нека изчислим съотношението (1) вътре в първия правоъгълник (фиг. 4).

Сравнително лесно е да се преброи броят на съвпадащите хармоници. Формално те са два, единият принадлежи към долния звук, вторият – към горния, на фиг. 4 те са маркирани в червено. Но и двата хармоника звучат на една и съща честота, съответно, ако преброим броя на съвпадащите честоти, тогава ще има само една такава честота.

Какъв е общият брой звукови честоти?

Нека поспорим така.

Всички хармоници на долния звук са подредени в цели числа (1, 2, 3 и т.н.). Щом някоя хармоника на горния звук е цяло число, тя ще съвпадне с една от хармониците на дъното. Всички хармоници на горния звук са кратни на основния тон , така че честотата n-та хармонична ще бъде равна на:

тоест ще бъде цяло число (тъй като m е цяло число). Това означава, че горният звук в правоъгълника има хармоници от първия (основния тон) до n-о, следователно, звук n честоти.

Тъй като всички хармоници на долния звук са разположени в цели числа и съгласно (3), първото съвпадение се случва на честотата m, оказва се, че долният звук вътре в правоъгълника ще даде m звукови честоти.

Трябва да се отбележи, че съвпадащата честота m ние отново преброихме два пъти: когато преброихме честотите на горния звук и когато преброихме честотите на долния звук. Но всъщност честотата е една и за правилния отговор ще трябва да извадим една „допълнителна“ честота.

Общата сума на всички звукови честоти вътре в правоъгълника ще бъде:

Замествайки (2) и (4) във формула (1), получаваме прост израз за изчисляване на съзвучието:

За да подчертаете съзвучието на кои звуци сме изчислили, можете да посочите тези звуци в скоби Против:

Използвайки такава проста формула, можете да изчислите съзвучието на всеки интервал.

А сега нека разгледаме някои свойства на честотния консонанс и примери за неговото изчисляване.

Свойства и примери

Първо, нека изчислим съзвучията за най-простите интервали и се уверим, че формула (6) „работи“.

Кой интервал е най-простият?

Определено прима. Две ноти звучат в унисон. На диаграма ще изглежда така:

Виждаме, че абсолютно всички звукови честоти съвпадат. Следователно съзвучието трябва да бъде равно на:

Сега нека заместим съотношението за унисон  във формула (6), получаваме:

Изчислението съвпада с „интуитивния“ отговор, което може да се очаква.

Нека вземем друг пример, в който интуитивният отговор е също толкова очевиден – октавата.

В една октава горният звук е 2 пъти по-висок от долния (според честотата на основния тон), съответно на графиката ще изглежда така:

От графиката се вижда, че всеки втори хармоник съвпада, а интуитивният отговор е: съзвучието е 50%.

Нека го изчислим по формула (6):

И отново, изчислената стойност е равна на „интуитивната“.

Ако приемем нотата като долен звук да се и начертайте стойността на съзвучието за всички интервали в рамките на октавата върху графиката (прости интервали), получаваме следната картина:

Най-високите мерки за съзвучие са в октавата, петата и четвъртата. Исторически те се отнасят до „перфектни“ съзвучия. Малката и голямата терца, както и малката и голямата шеста са малко по-ниски, тези интервали се считат за „несъвършени“ съзвучия. Останалите интервали са с по-ниска степен на съзвучие, традиционно принадлежат към групата на дисонансите.

Сега ние изброяваме някои свойства на мярката за честотен консонанс, които произтичат от формулата за нейното изчисляване:

1. Колкото по-сложно е съотношението  (колкото повече число m и n), толкова по-малко съгласна е интервалът.

И m и n във формула (6) са в знаменателя, следователно, когато тези числа се увеличават, мярката на съзвучието намалява.

2. Възходящото съзвучие на интервала е равно на низходящото съзвучие на интервала.

За да получим интервал надолу вместо интервал нагоре, имаме нужда от съотношението   размяна m и n. Но във формула (6) абсолютно нищо няма да се промени от такава замяна.

3. Мярката на честотното съзвучие на даден интервал не зависи от каква нота го изграждаме.

Ако изместите и двете ноти с еднакъв интервал нагоре или надолу (например, изградете квинта не от нота да се, но от нот повторно), тогава съотношението  между нотите няма да се промени и следователно мярката на честотния консонанс ще остане същата.

Можем да дадем и други свойства на съзвучието, но засега ще се ограничим до тях.

Физика и текстове

Фигура 7 ни дава представа как работи съзвучието. Но така ли наистина възприемаме съзвучието на интервалите? Има ли хора, които не обичат перфектните съзвучия, но най-дисонантните хармонии изглеждат приятни?

Да, със сигурност има такива хора. И за да се обясни това, трябва да се разграничат две понятия: физическо съзвучие и възприемано съзвучие.

Всичко, което разгледахме в тази статия, е свързано с физическото съзвучие. За да го изчислите, трябва да знаете как работи звукът и как се сумират различните вибрации. Физическото съзвучие осигурява предпоставките за възприемано съзвучие, но не го определя на 100%.

Възприеманото съзвучие се определя много просто. Питат се човек дали му харесва това съзвучие. Ако да, то за него това е съзвучие; ако не, това е дисонанс. Ако му бъдат дадени два интервала за сравнение, тогава можем да кажем, че единият от тях ще изглежда на човека в момента по-съгласен, другият по-малко.

Може ли да се изчисли възприеманото съзвучие? Дори да приемем, че е възможно, тогава това изчисление ще бъде катастрофално сложно, ще включва още една безкрайност – безкрайността на човека: неговия опит, слухови характеристики и мозъчни способности. Не е толкова лесно да се справим с тази безкрайност.

Изследванията в тази област обаче продължават. По-специално, композиторът Иван Сошински, който любезно предоставя аудио материали за тези бележки, е разработил програма, с която можете да изградите индивидуална карта на възприятието на съзвучията за всеки човек. В момента се разработва сайтът mu-theory.info, където всеки може да се тества и да разбере особеностите на слуха си.

И все пак, ако има възприемано съзвучие и то се различава от физическото, какъв е смисълът да се изчислява последното? Можем да преформулираме този въпрос по по-конструктивен начин: как се свързват тези две понятия?

Проучванията показват, че корелацията между средното възприемано съзвучие и физическото съзвучие е от порядъка на 80%. Това означава, че всеки човек може да има свои индивидуални характеристики, но физиката на звука има огромен принос за дефиницията на съзвучието.

Разбира се, научните изследвания в тази област са все още в самото начало. А като структура на звука взехме сравнително прост модел на множество хармоници, като за изчисляване на съзвучието използвахме най-простия – честотен, и не отчитахме особеностите на дейността на мозъка при обработката на звуковия сигнал. Но фактът, че дори в рамките на такива опростявания е получена много висока степен на корелация между теория и експеримент, е много окуражаващ и стимулира по-нататъшни изследвания.

Приложението на научния метод в областта на музикалната хармония не се ограничава до изчисляването на съзвучието, но дава и по-интересни резултати.

Например с помощта на научния метод музикалната хармония може да бъде изобразена графично, визуализирана. Ще говорим за това как да направим това следващия път.

Автор – Роман Олейников